ÁLGEBRA
LINEAL Y APLICACIONES
1
Concepto de ecuación
Ecuación
es un planteamiento que señala que dos expresiones son iguales. Las
expresiones que conforman la ecuación se denominan miembros y se separan
por un signo de igualdad. Resolver
una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para
los cuales la ecuación se verifica.
Son
ejemplos de ecuaciones
Y = 3X + 8
3x
–5 = 2 –6x
y = 2x² + 3x – 20
x³ -3x² + 3 x
- 1 = 0
A) El valor en libros
de un camión se expresa en la función :
V = f(t) = 250,000 – 20,000 t donde V es el valor en libros
y t es la edad del camión expresada en años
a)
que clase de ecuación es esta
Es una ecuación lineal decreciente
b)
cual es el valor en libros al cabo de 3 años?
V = f(3) = 250,000 – 20,000(3) =
250,000 – 60,000 = 190,000
c)
Cuándo será
igual a cero el valor en libros?
0 = 250,000 –20,000 t
t = 250,000/20,000 = 12.5 años
B) La indemnización de una persona que es despedida de una empresa
es función del sueldo percibido. (tres meses de sueldo y 20 días por
cada año laborado) Si la
persona gana $9,000 y había permanecido en la empresa 6 años determine
la indemnización de la persona.
I = 3S + 20 ( S/30)t
I = 3 (9,000) + 20
(9,000/30) 6
I = 27,000 + 36,000
= $63,0000
2
Ecuaciones lineales
Las ecuaciones en las cuales
los exponentes de las variables son iguales a uno
se conocen como ecuaciones lineales
Ecuación de una recta que
pasa por dos puntos:
a)
Determine la ecuación de la oferta sabiendo que
cuando el precio es de $6.00 se ofrecen 25,000 unidades y cuando el precio
es de $7.50 se ofrecen 33,000 unidades, ¿que precio hará que se ofrezcan
45,000 unidades?
Puntos: (6, 25000)
(7.5, 33000)
q
= 5333p – 7000
Ecuación de oferta
Si
se ofrecen 45,000 unidades:
45,000 = 5333 p –7000
P = $9.75
b)
Dos puntos sobre la función lineal de demanda son
($25, 50000)
($35, 42500)
1)
Determine la función de demanda q = f(p)
q = -750 p + 68750
2)
¿Que precio dará por resultado una demanda de
60,000 unidades?
60,000 = - 750 p
+ 68750
p = $11.66
3)
Si el precio es de $30 cuál será la cantidad
demanda?
q = -750(30) +68750
q = 46250
4)
Grafique la función.
4
Concepto de matriz, concepto de determinante
a)
Matriz es una arreglo de números en renglones y /o
columnas
a)
Determinante es un número asociado a una matriz
cuadrada se obtiene
mediante la aplicación de una fórmula.
Para matrices cuadradas:
1
Adición y multiplicación de matrices
a)
Adición : para sumar
(o restar )matrices deben tener los mismo renglones y columnas, los
elementos se suman (restan)
a)
Multiplicación escalar : es multiplicar un número
por una matriz (esto se realiza multiplicando cada elemento de la matriz
por el número
a)
Multiplicación matricial: para multiplicar dos
matrices se necesita que sean conformables
es decir que las columnas de la primera matriz sean iguales a los
renglones de la segunda matriz, para obtener el elemento aij se multiplica
el renglón i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz
elemento a elemento y los resultados se suman.
Un experto en sondeos de opinión obtiene
la matriz de preferencias “P”
electorales según los distritos :
1
Matriz inversa
Para obtener la matriz inversa de la matriz
A se procede de la siguiente manera :
PROGRAMACION
LINEAL
La programación lineal es
un conjunto de técnicas matemáticas que permiten solucionar problemas de
planificación económica o social. El objetivo básico es encontrar la
solución optima que maximiza o minimiza la función objetivo.
Hay varias maneras de
enfocar este tema, una intuitivamente mediante la geometría,
computacionalmente a través del método simplex o algebraicamente
mediante la teoría de la dualidad.
I-
Graficación de desigualdades y sus regiones factibles
Cuando se encuentra la
solución de una desigualdad de una variable, se representa por intervalos
en la recta numérica. En el caso de una desigualdad de dos variables, por
lo general la solución esta representada por una región en el plano
coordenado( o semiespacio).
Notar que la grafica de una
recta y = m x + b, separa al plano coordenado en tres partes :
1. el semiplano por encima
de la recta, que consiste en todos los puntos (x,y) que satisfacen la
desigualdad y > m x + b
2. la recta misma, formada
por todos los puntos (x,y) que verifican su ecuación.
3. el semiplano por debajo
de la recta, que consiste en todos los puntos(x,y) que satisfacen la
desigualdad y< m x + b
Para el caso en que la
desigualdad estricta "<" es reemplazada por
"<=", la solución consiste en los puntos que satisfacen la
ecuación de la recta como así también los del semiplano por debajo de
ella. En este caso se dice que la solución es el semiplano cerrado.
Ejemplo 1: una
desigualdad.
Un consumidor desea gastar
como máximo 60 pesos en la compra de las cantidades x e y de dos
productos A y B, siendo de dos pesos el costo de cada producto A y de tres
pesos para el producto B. ¿Cuales son las posibles combinaciones de
cantidades de A y B para satisfacer la condición?.
desigualdad:=2x
+ 3y <=60 ;
![[Maple Plot]](images/matemñ03.gif)
Ejemplo : Sistema de desigualdades
La solución de un sistema de desigualdades
consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera
simultanea todas las desigualdades y geométricamente es la región común
a todas las regiones determinadas por las desigualdades dadas.
Ø
y <=
x
Ø
y > ½
Ø
y > -2x +3
Ejemplo 3:
Ø
x + y <= 16
Ø
x
> -3, x < 10
Ø
y
> -2, y <= 14
II. Programación lineal
Un típico problema de optimización por
programación lineal consta de dos partes:
las restricciones : un sistema de
desigualdades (
)
que define la región de validez y una función a optimizar (maximizar
o minimizar) dentro de la región de validez. Hay una restricción
fundamental en la programación lineal: se pide que x o y no sean
negativas.
En programación lineal no estamos
interesados en el conjunto de todos los puntos factibles sino, el objetivo
del problema es encontrar un punto (x,y), que este en el conjunto factible
y que sea la solución optima, donde el valor de la función objetivo es máximo
o mínimo.
Por ejemplo un fabricante puede querer
maximizar una función de utilidad sujeta a las restricciones de producción
impuestas por las limitaciones sobre el uso de la maquinaria y la mano de
obra.
La solución del problema se puede dividir en
cuatro partes:
1. Definir el sistema de desigualdades ( las restricciones) a partir de
los datos del problema
2. Graficar la región de validez o factible.
Este es el paso fundamental donde se imponen simultáneamente todas las
restricciones dadas por las desigualdades. Geométricamente se combinan
para dar la región factible.
3. Definir la función objetivo P(x,y)
4. Encontrar la solución, (x,y), el valor optimo (máximo o mínimo) de
P(x,y), que satisface el sistema de desigualdades ( las restricciones
impuestas)
Ejemplo : Solución
del problema desde un enfoque geométrico
Una compañía produce dos tipos de artículos,
manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de
tres maquinas A,B, y C. cada articulo manual requiere del uso de la
maquina A durante 2 horas, de la maquina B por una hora y de la maquina C
otra hora. Un articulo eléctrico requiere una hora de A, dos horas de B y
una hora de C. Además el numero de horas disponibles por mes para el uso
de las maquinas A,B y C es de 180, 160, y 100 respectivamente. La utilidad
por cada articulo manual es de $4 y por cada articulo eléctrico es de $6.
Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿Cuantos
artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad
mensual?
1. Definir el sistema de desigualdades . sean
x e y el numero de artículos manuales y eléctricos respectivamente.
El numero de artículos producidos es no
negativo:
,
Para la maquina A :
Para la maquina B:
y
para la C:
La utilidad es
:
funcion objetivo
Ø
x>=0
Ø
y>=0
Ø
2*x+ y<=180
Ø
x+2*y<=160
Ø
x+y<=100
2. grafica de la región de validez ( donde
se cumplen todas las restricciones impuestas por la fabricación)
3. Definir la función objetivo
>
P :=(x,y)-> 4x + 6y
4. Encontrar la solución
Observando la grafica se deduce que la solución
es aquella recta que tiene en común con la región valida, un punto vértice
de la región. Por lo cual hay que encontrar las coordenadas de los vértices
de la región valida, formados por la intersección de las rectas de borde
y se calculan resolviendo cada uno de los posibles sistemas de dos
ecuaciones que se obtienen.
Punto A :
pertenece a las rectas:
Punto B: pertenece
a las rectas
Punto C : pertenece
a las rectas
Por los resultados
obtenidos la máxima utilidad esta dada por P2 = $520, por lo cual la
combinación adecuada es producir 40 artículos manuales y 60 artículos
eléctricos, respetando las restricciones impuestas.
PERT Y EL METODO DE
RED.
El PERT/CPM fue diseñado
para proporcionar diversos elementos útiles de información para los
administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica"
de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del
proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice
pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por
otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto
como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están
en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden
empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga
en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de
tiempo disponible para retardos.
El PERT/CPM también
considera los recursos necesarios para completar las actividades. En
muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la
programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del
proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la
flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas,
permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos
problemas.
Finalmente, el
PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el
progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su
importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente
para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten
por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la
terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades
no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad
de recursos.
PERT es un, método de PLANIFICACION, REPLANIFICACION y
EVALUACION destinado a ejercer el control apropiado de los principales
programas de investigación y desarrollo.
Simplemente hablando, el PERT-CPM es una técnica de
planificación y un instrumento de control de la dirección que utiliza la
teoría de la “Red”. Una
vez definidas las varias actividades que componen el proyecto, se forma
con ellos la “Red”, mostrando
la sucesión de las actividades
en secuencia lógica y el grado de interdependencia entre ellas. Se estima
el tiempo de duración asociado a cada actividad, y se determinan las
partes críticas del
proyecto La “Red” es el
mapa, la representación gráfica de la organización interna del
proyecto. Como se
observa en la figura No. 1.
La figura No. 2 se conoce como gráfica de Gantt. Este
tipo de diagrama se usa mucho en la práctica para mostrar la programación
de un proyecto, ya que las barras muestran los tiempos de inicio y
terminación de las actividades.
Figura
No. 2
Se puede elegir entre varios tipos de vistas con la
barra de herramientas que se encuentra a la izquierda de la pantalla. La
preestablecida es la gráfica de Gantt.
GRAFICACIÓN
DE UN DIAGRAMA PERT-CPM
Supongamos
que llevamos nuestro carro a la estación de servicio para que le hagan
los servicios correspondientes a los 15.000 km.
Lavado
–Engrasar – Cambio de Aceite – Rotar Cauchos – Cambiar Filtro de
Aceite – Pulir. Como se observa en la figura No 7
Primero
antes que todo el mecánico decide primero elevar el carro con la
plataforma, pero antes de
ello para poder rotar los
cauchos hay que sacar el repuesto, hay que quitar las tazas y aflojar las
tuercas del ring, ahora si se eleva el carro, paso a seguir seria lubricar
el motor bajo la tapa del automóvil mientras el carro está elevado, por
esta razón se divide la lubricación en dos fracciones; lubricar bajo el
carro (chasis), lubricar bajo tapa del motor
y el cambio de aceite se realiza mientras el carro esta elevado.
Al finalizar solo
falta el lavado y pulido.
Como se pudo observar lo mas importante para la
creación de un diagrama PERT – CPM es saber concatenar y tomar
decisiones con relación a las actividades que determinan un proyecto.
CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
1
Concepto de límite y continuidad
Hallar
los siguientes límites
Indicar
si las funciones son continuas
2
Concepto de derivación
La derivada es una expresión
que representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente
cuando se opera un cambio en la variable independiente. La notación
se
emplea para representar la tasa
instantánea de cambio de y con respecto al que se produce en x .
La
derivada es una expresión general de la pendiente de la grafica de una
función en cualquier punto de x dentro del dominio de la función.
3
Reglas de derivación
a)
derivada de una constante
b)
derivada de x
c)
derivada de constante por x
d)
derivada de potencia de x
e)
derivada de un producto
f)
derivada de un cociente
Utilizando las reglas de
derivación obtenga las siguientes derivadas
1) y = 6x – 4
y´
= 6
2) y = 8x³ - 2x ² - 3x +
5
y´ = 24x² - 4x – 3
3) y = x² + x
y´= 2x +1
4) y= 5x³ (6 – 3x²)
Y´= 5x³ (0 – 6x) + (6-3x²) 10x² = -40x4
+ 60x²
4) y = x²/ (x-1)
y´= (x-1)2x –x² (1) = x² -2x
(x –1)²
(x-1)²
4
Aplicaciones de derivadas
a)
Si p = -0.5q +450 es una ecuación de demanda halle la función de
ingreso marginal
El ingreso es igual a p*q
I = -0.5q² + 450 q
El ingreso marginal será la derivada:
I´= - q + 450
b)
La función de costo total para una planta de energía eléctrica
se estima mediante:
C= 16.68 +0.125 q +0 .00439q²
dónde q es la producción
total diaria y c es el costo total de combustible en miles de pesos.
Obtenga la función de costo marginal
y evalúela cuando q= 70
Se deriva el costo para
obtener el costo marginal:
C´= 0.125 + 0.00878 q
Se sustituye q = 70
C´= 0.125 +0.00878(70) =
0.7396
APLICACIONES DE FUNCIONES
1
Concepto de función, e interpretación gráfica
2
Concepto de dominio
e imagen de una función
Una función es una regla que asigna a cada
número de entrada (x) exactamente un número de salida (y). El conjunto de todos los números de entrada se le denomina
dominio de la función. Al conjunto de todos los números de salida se le
llama imagen o rango de la función.
La representación gráfica de una función
es mediante puntos de parejas de valores (x,y) para lo cual se elabora una
tabulación.
I)
Represente gráficamente las siguientes funciones:
a)
y = 10x – 8
II) La función
C(x) = 25x + 80000 expresa el costo total C(x) de fabricar x
unidades de un producto. Si
el número máximo de unidades que pueden producirse es igual a 20,000,
establezca el dominio y rango restringidos para esta función.
El dominio es [0, a 20,000]
ya que el mínimo en producción son cero unidades y el máximo son
20000
El rango está asociado al dominio para cero unidades
el costo es de 80000 y para 20000 unidades el costo es de
580000, Rango [80000 a 580000]
III) La función q = f(p) = 180,000 –40 p es la
función de demanda de la cantidad de un producto q en función del precio
cobrado p. Determine el dominio y el rango restringidos de esta función.
El mínimo de precio será cero para este precio la
cantidad demandada será 180000
La mínima cantidad demandada será cero cuando el
precio es de 4500
Por lo tanto el dominio es: [0 a 4500]
y el rango [0 a 180000]
IV) El valor de reventa de un equipo industrial está
dado conforme a una función exponencial
V = f(t) = 150,000 e –0.1t
donde t son los
años transcurridos desde la compra original.
a)
cual es el valor original: al
tiempo cero V = 150000
b)
Cual es el valor de reventa al cabo de 5 años. V = 150000 e –0.1(5)
V=
150000 (.6065) = 90975
PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA
(Esencial)
1
Media mediana, moda
Las medidas de Tendencia Central más utilizadas son:
-
Medida aritmética o
promedio
-
Moda
-
Mediana.
La media aritmética o promedio es la medida de
tendencia central más importante y mis utilizada; para calcularla se
deben tomar en cuenta todos los elementos de la muestra; se calcula
sumando cada uno de los datos y se divide entre el tamaño de la muestra.
Su notación es x, matemáticamente se puede expresar:
La mediana
o valor medio de una muestra es el “valor del medio” de los datos
arreglados en orden de magnitud (si el tamaño de la muestra es non), o el
promedio de los valores del centro (si el tamaño de la muestra es par).
Li = límite inferior del intervalo que contiene a la mediana
n= tamaño de la muestra
F= frecuencia acumulada hasta antes del intervalo que contiene a la
mediana
f= frecuencia del intervalo que contiene a la mediana
a= amplitud del intervalo que contiene a la mediana
La moda es
el valor de la muestra que más se repite sin embargo puede no existir o
tener varias modas.
Ejemplo la siguiente tabla muestra la distribución
de frecuencias de los salarios de 65 empleados de la compañía GM.
